fat catってどういう意味？

「太った猫」という直訳からも連想しやすいでしょうか。「お金持ち」を意味します。
特に、資産家や有力者、その中でも政治・ビジネスなどに関係するお金持ちの人を指して使う言葉です。

The fat cat pulled strings so he won the election. I can't think otherwise.
あの有力者が裏で糸を引いていたんだ、だから彼は選挙に勝ったんだ。ほかに考えられないよ。